Question

将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数.

（1）对函数的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的最小值；

（3）若在内有两个不同的解，，求的值（用含的式子表示）.

Answer

（1）（2）；（3）

【解析】

（1）将纵坐标伸长到原来的倍；再向左平移个单位长度，最后代入，得答案；

（2）对在，由内到外求出值域，因为恒成立，所以，，整理得答案；

（3）表示并化简，由，是在内有两个不同的解，所以或，因需求，所以分别表示并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中换成t得答案.

（1）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，再将的图象向左平移个单位长度得到函数，所以，

又，所以；

（2）当时，，所以，

所以，

令，因为恒成立，

所以，，即

所以即的最小值为；

（3）法一：因为，

所以，是在内有两个不同的解，

所以或，

所以或

所以；

法二：①当时，不妨设，

则有，所以，；

②当时，不妨设，

则有，所以，；

③当时，显然有，，

所以.