Question

已知椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点的直线l与椭圆C交于，两点，求的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，联立方程组，求解即可得出椭圆的方程；

讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，当直线l的斜率为0时，，得出；

当直线l的斜率不为0时，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得出，的值，进而得出，换元令，得出，由二次函数的性质求出的取值范围.

【解析】
（1）因为椭圆C经过点，所以，①

因为椭圆C的离心率为，所以，所以.②

由①②得，.

故椭圆C的方程为.

（2）①当直线l的斜率为0时，，所以.

②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为.

联立，整理得

则，

设，则，从而

因为，所以，即

综上的取值范围是.