Question

“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是(    )

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

根据是“互倒函数”，得到解析式，从而画出的图像，将问题等价于等价于有两个不等的实根，分为，，，，几种情况讨论，设，先研究的解，再研究的解，从而得到的范围.

函数是定义域在的“互倒函数”

当，则，

因为，且当时，，

所以，

所以，

函数都恰有两个不同的零点，

等价于有两个不等的实根，

作出的大致图像，如图所示，

可得，，

，.

设，则

①当时，有两个解，，

其中，，

无解，有两个解，符合题意；

②当时，由得，，

由图可知此时有四个解，不符合题意；

③当时，有两个解，，

其中，，

由图可知此时有四个解，不符合题意；

④当时，由，得，

由图可知有两个解，符合题意；

⑤当时，由，得无解，不符合题意.

综上所述，或符合题意，

而，所以解得或.

即实数的取值范围为.

故选：A.