Question

已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是____.

Answer

【解析】

求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．

函数，

由得，得或，此时为增函数，

由得，得，此时为减函数，

即当时，函数取得极小值，极小值为，

当时，函数取得极大值，极大值为，

当，，且，

作出函数的图象如图：

设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，

当或时 方程有1个根，

则方程等价为，

若恰有四个不同的实数根，

等价为有两个不同的根，

当，方程不成立，即，

其中或，

设，

则满足，得，

即，即，

即实数的取值范围是，

故答案为