Question

某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x²+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．

（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e³≈20）

Answer

(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元

【解析】

（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜7和当x≥7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜7时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可．

（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，

，

当时，

.

∴

（2）当时，，

∴当时，的最大值为（万元）.

当时，，

∴，

∴当时，，单调递减，

∴当时，取最大值（万元），

∵，

∴当时，取得最大值万元，

即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.