Question

若定义在上的函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.

Answer

（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.

【解析】

（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）设，，

利用导数研究出和在的单调性和正负情况，分和进行讨论，得到和的大小关系，从而得到答案.

（1）函数，

求导得到，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由，得到，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）设，

所以，所以在时单调递减，

又因为

所以当时，当时，.

而，设，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

而，所以时，，

所以在时单调递增，且，

所以.

①当时，

设，则

所以在单调递减，.

又因为，所以，

所以

所以比更接近.

②当时，， ，

设，则，

设，，

所以在上单调递减，即在上单调递减，

所以

所以在上单调递减，

所以，即，

所以比更接近.

综上所述，当且时，比更接近.