Question

已知函数，.

（1）若，求实数取值的集合；

（2）证明：

Answer

（1）.（2）见证明

【解析】

（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；（2）由（1），可知当时，，即在恒成立. 要证，只需证当时，.构造，证明即可

（1）由已知，有.

当时，，与条件矛盾；

当时，若，则，单调递减；

若，则，单调递增.

∴在上有最小值

由题意，∴.

令.∴.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

综上，当时，实数取值的集合为.

（2）由（1），可知当时，，即在恒成立.

要证，

只需证当时，.

令.则.

令.则.

由，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

即在上单调递减，在上单调递增.

而，，

∴，使得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.

又，，

∴对，恒成立，即.

综上所述，成立.