Question

已知函数（）.

（1）若，证明：当时，；

（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）将问题转化为当时，，利用导数得到的单调性和最值，进行证明；（2）通过函数端值得到，将问题等价于当时，，对进行分类，通过导数得到的单调性，从而得到符合要求的.

（1）当时，，

要证当时，，

即证当时，

令，

当时，，在内单调递减

当时，，在内单调递增，

故.证毕.

(2)先分析端值，当时，，，

要使，需有，即；

当时，，，

要使，需有；

故必须有.

由知其分子恒正，

令，

于是问题等价于当时，；

当时，.

注意到.

①当时，

此时当时，，在单调递减，

于是，这不符合题意；

②当时，，得，.

（i）当时，，，在单调递增，

结合可知符合题意；

（ii）当时，，此时当时，

于是在在单调递减，

故在内，这不符合题意；

（iii）当时，，此时当时，

于是在在单调递减，

故在内，这不符合题意；

综上：符合题意的取值集合为.