Question

已知函数，.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)；(2).

【解析】

（1）对求导得到，代入，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到，然后利用参变分离，得到，设，利用导数得到的最小值，从而得到的范围.

（1）因为，所以函数，

所以，即切点为

所以，

代入，得到，

故所求的切线方程为，

即.

（2）对任意的，，恒成立，

可得，对任意的，恒成立，

，令得或，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

而，，所以，

所以，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，对任意的恒成立，

设，，则

，

设，

因为，所以，所以单调递增，

即单调递增，而，

所以当，，单调递减，

当，,单调递增，

所以时，取得最小值，为，

所以.