Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求实数取值的集合；

（Ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（1）当时，不满足题意，当时，求的最小值，即可得到本题答案；

（2）要证，只需证当时，，

求得的最小值，即可得到本题答案.

（Ⅰ）由已知，有

当时，，与条件矛盾,

当时，若，则，单调递减,若，则，则单调递增.

所以在上有最小值，

由题意，所以.

令，所以，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在上有最大值，所以，，，，

综上，当时，实数取值的集合为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：时，，即在时恒成立.

要证，只需证当时，

令

，令，

则，令，解得，

所以，函数在内单调递减，在上单调递增.

即函数在内单调递减，在上单调递增.

而.

存在，使得

当时，单调递增；当时，单调递减.

当时，单调递增，

又，

对恒成立，即，

综上可得：成立.