Question

已知函数，.

（1）求在区间上的值域；

（2）是否存在实数，对任意给定的，在存在两个不同的使得，若存在，求出的范围，若不存在，说出理由.

Answer

（1）（2）满足条件的不存在，详见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，知在区间上单调递增，在区间上单调递减，由此能求出的值域；（2）对函数进行求导，对进行分类讨论，当和时，不合题意，求出当时，判断单调性，，由（1）知在上值域为，根据数形结合思想原题意可等价于，解不等式即可.

（1），时，，单调递增，

时，，单调递减，

，，，

∴在上值域为.

（2）由已知得，且，

当时，，在上单调递增，不合题意．

当时，，在上单调递减，不合题意．

当时，得．

当时，单调递减，

当时，，单调递增，∴.

由（1）知在上值域为，而，

所以对任意，在区间上总有两个不同的，使得.

当且仅当，即，

由（1）得.

设，，

，

当，，单调递减，∴.

∴无解.

综上，满足条件的不存在.