Question

已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；

（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围；

（Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，由点处的切线与轴平行可得，即可求出实数；

（Ⅱ）对函数求导可得，令导数等于零，解得，，分类讨论与的大小，即可求出实数的范围，使得在处取得极大值；

（Ⅲ）对求导，分别讨论大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极值的正负，即可求出使函数有3个零点时，的取值范围。

（Ⅰ）函数的定义域为．．

因为曲线在点处的切线与x轴平行，

所以，解得．此时，所以的值为．

（Ⅱ）因为，

①若，

则当时，，所以；

当时，，所以．

所以在处取得极大值．

②若，则当时，，

所以．所以不是的极大值点．

综上可知，的取值范围为．

（Ⅲ）当时，，

，

当时，函数，不可能3个零点；

①当时，令，解得：，

令，得，则在区间上单调递增；

令，解得：或，则在区间和上单调递减；

由于当时，恒成立，， ，则当时， 恒成立，所以函数最多只有两个零点，即不满足题意；

②当时，令，解得：，

令，得：或，则在区间和上单调递增；

令，解得：，则在区间上单调递减；

要使函数有3个零点，则 ，解得：

综上所述的取值范围为 ．