Question

已知函数.

(1)若在处取到极值，求函数的单调区间；

(2)若在恒成立，求的范围.

Answer

(1)单调递减区间为，，单调递增区间为；(2)

【解析】

（1）先求原函数定义域，再求导得出，已知在处取到极值，将代入，即可算出，再分别令和求出的单调区间.

（2）已知在恒成立，用分离参数法，利用新函数的单调性和最值，得出的取值范围.

(1)因为，所以.

因为在处取得极值，所以，即，

解得.

∴，

令，即，解得.

所以的单调递增区间为.

令，即，解得或，

所以的单调递减区间为，.

综上，的单调递减区间为，，单调递增区间为.

(2)在恒成立，在恒成立，即

设

，

设

则

∴在上单调递减，在单调递增，

∴，∴恒成立

∴在上单调递增，∴

∴.

即的取值范围为.