Question

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由平面及底面是正方形可证得平面,则,又由,即可求证；

（2）以为原点,分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由（1）可知为平面的一个法向量,求得平面的一个法向量,进而利用数量积求解即可

（1）证明:因为平面,平面,

所以,

因为底面是正方形,所以,

又,所以平面,

因为平面,所以,

又因为,平面,

所以平面

（2）因为平面,底面为正方形,

所以,以为原点,分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图所示）,

设,则,

因为,所以为中点,所以,

所以,

由（1）得为平面的一个法向量,

设平面的一个法向量为,

由,即,令,则,所以,

因此,

由图可知二面角的大小为钝角,

故二面角的余弦值为