Question

在数列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；

(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；

Answer

（1），；猜想，证明见解析.（2）见解析.

【解析】

（1）容易求得：，--

故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

（i） 显然当时，结论成立，-

（ii） 假设当；时（也可以），结论也成立，即

，-

那么当时，由题设与归纳假设可知：

即当时，结论也成立，综上，对,成立．

（2）-

所以

-

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有