Question

中，为的中点，为外心，点满足.

（1）证明：；

（2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据平面向量的加法与减法运算,化简即可求解.

（2）根据题意,可得.而为的中点,与重合,为的重心,建立平面直角坐标系, 设,,写出各个点的坐标,表示出与,即可根据平面向量数量积的定义用三角函数式表示出来.利用辅助角公式,即可求得的取值范围.

（1）证明:为的中点,为外心,点满足

根据平面向量的减法运算可得

而

则代入可得

即

（2）由,

两边同时平方,展开化简可得

所以.此时为的中点,与重合,为的重心,

如图建立平面直角坐标系,

设,则,且

设,则,

则有,,

且.

设

∴

.

由正弦函数的性质可知,

即