Question

已知，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，若的最大值为，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）当时,;当时,.

【解析】

（1）根据函数解析式,先讨论当与两种情况.当时易判断单调递减,当时,讨论对称轴与区间的关系,即可判断单调性.

（2）根据（1）中所得在不同范围内的单调情况分类讨论. 当,在递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由的最大值即可求得的值,进而得的取值范围;当时,在递增,在递减,同理解绝对值不等式可求得的取值范围,进而得的取值范围.

（1）①当时,,在单调递减

②当时,即时,在单调递减

③当时,即时,在递增,在递减

④当时,不成立,所以无解.

综上所述,当时,在单调递减；

当时,在递增,在递减

（2）①当时,在递减,

,,

∵,

∴,

∴,

∴.

得.

②当时,在递增,在递减,

又,,

∵,

∴,同时,

∴

∴

∴

又∵,

∴,

又∵,

∴

且可得在递增,

所以.

综上所述, 当时,;当时,.