Question

已知抛物线的焦点为，，是抛物线上关于轴对称的两点，点是抛物线准线与轴的交点，是面积为4的直角三角形.

(1)求抛物线的方程；

(2)若为抛物线上异于原点的任意一点，过作的垂线交准线于点，则直线与抛物线是何种位置关系？请说明理由.

Answer

(1)；(2)相切，理由见解析.

【解析】

（1）由直角三角形及对称性可设直线的方程为,联立,解得点坐标,则可得到点坐标,进而利用三角形面积求得,即可得到抛物线方程；

（2）设,则直线的斜率为,则可设直线的方程为,令,求得点坐标,进而求得直线的斜率,利用导数得到抛物线在点处的切线斜率,即可判断位置关系

(1)由题,为,是直角三角形,且,是抛物线上关于轴对称的两点,

所以,设原点为,则,

不妨设点位于第一象限,则设直线的方程为,

联立方程,解得,

所以,,

,

解得,

故抛物线的方程为

(2)相切,

由（1）得焦点,

设,则直线的斜率为,

所以直线的方程为,

令,得,所以点,

则直线的斜率为,

由得,即抛物线在点处的切线的斜率为,

故直线与抛物线相切