已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求证：.

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，求证：.

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题（Ⅰ）根据题意可得，分和两种情形讨论的符号可得单调性．（Ⅱ）令，可得，构造函数，结合导数可得，于是可得在上单调递减，在上单调递增，故，然后再证明，即可得，从而可得成立．试题解析：（Ⅰ）由题意得， ①当时，则在上恒成立， ∴在上单调递减. ②当时，则当时，单调递增，当时，单调递减．综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （Ⅱ）令，则，设，则， ∵, ∴当时，单调递增；当时，单调递减． ∴（因为）， ∴. ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，设，则，，在上递减， ∴； ∴，故. 说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：由得到，设，则，当时，；当时，. 从而在上递减，在上递增. ∴. 当时，，即.

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考点分析：

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政府工作报告指出，2018年我国深入实施创新驱动发展战略，创新能力和效率进一步提升；2019年要提升科技支撑能力，健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：