Question

如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.

(1)证明:平面平面MDC.

(2)若，求二面角的余弦值.

Answer

(1)见解析；(2)

【解析】

（1）根据题意由面面垂直的性质可得平面MAD，即可证出，又，利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，求出平面NAD的一个法向量以及平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

(1)证明:因为平面平面ABCD，且相交于AD，又，

所以平面MAD

所以.

又，，

所以平面MDC.

因为平面MAB，所以平面平面MDC.

(2)解:以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，

过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，，，

所以，.

设平面NAD的一个法向量，则，

令，得.

又平面MAD的一个法向量

所以.

由图可知二面角为钝角，

所以所求二面角的余弦值为.