Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.

（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.

(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为，

因为准线过点，所以，即.

所以抛物线C的方程为.

(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.

当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，

过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.

设该切线方程为，

代入，可得.

由，得.

由，整理得，

又，解得，即.

因此，直线l方程为.