Question

已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.

（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.

（1）【解析】
因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.

又离心率，所以，则.

故椭圆C的方程为.

（2）证明：椭圆，

当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，

联立，得，即，

则.

当直线l的斜率存在时，设，

联立，得，

由，可得.

联立，得.

设，所以，

则.

因为原点到直线l的距离，

所以.

综上所述，的面积为定值.