Question

已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.

Answer

【解析】

求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.

由于函数在上的减函数，则，即，

所以，函数在区间上的值域为.

对于函数，内层函数为，外层函数为.

令，得.

由题意可知，函数在区间上的值域包含.

函数的图象开口向上，对称轴为直线.

（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，

此时，函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得，此时，；

（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，

此时，函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得或，此时；

（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得，此时，.

综上所述，实数的取值范围是.