Question

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性并给出证明；

（2）设，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函教，证明见解析；（2）或

【解析】

（1）通过，求出，可得，即为奇函数；

（2）设，计算可得，可得函数为减函数，将函数有且只有一个零点，转化为只有一个根，令，转化为只有一个正数根，利用韦达定理可得结果.

（1）函数为奇函数，

证明：，

则函数为奇函数；

（2）首先判断函数的单调性，设，则

，

则

故函数为减函数；

由得，

即：，

令，

则：，即，

等价于上述方程有且仅有一个正数根，

根据韦达定理或，

解得：或.