Question

设函数.

（1）若时，的值域为，求的值；

（2）若，求不等式的解集.

Answer

（1）1；（2）见解析

【解析】

（1）由题意，，且，即，化简得，分类讨论：，，求的值域，与相等，列方程求解；

（2）由，可得，将不等式变形为，

（1）由题意，，且，即.

又，故

1°当时，，不合题意，舍；

2°当时，，得；

3°当时，，得.

综上得，；

（2）由，得，从而得，

故等价于，即，

∴，令.

注意到，若，则的两根同号.且两根为：；

由得或.

①当时，，∵，∴，

这时，

所以解集为或；

②当时，，∵，∴，

这时，，

所以解集为或；

③当时，，∵，∴，

这时，

所以解集为且；

④当时，，∵，∴，这时，所以解集为且；

⑤当时，，∵，∴，这时恒成立，所以解集为；