Question

如图所示，在四棱锥中，，，，且，．

(1)平面；

(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)见证明 (2)见解析

【解析】

（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．

（1）∵在底面中，，

且

∴，∴

又∵，，平面，平面

∴平面 又∵平面 ∴

∵， ∴

又∵，，平面，平面

∴平面

（2）方法一：在线段上取点，使 则

又由（1）得平面 ∴平面

又∵平面 ∴ 作于

又∵，平面，平面

∴平面 又∵平面 ∴

又∵ ∴是二面角的一个平面角

设 则，

这样，二面角的大小为

即

即

∴满足要求的点存在，且

方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直

∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系

且由（1）知是平面的一个法向量

设 则，

∴，

设是平面的一个法向量

则 ∴

令，则，它背向二面角

又∵平面的法向量，它指向二面角

这样，二面角的大小为

即

即

∴满足要求的点存在，且