Question

如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为______.

Answer

【解析】

先计算DF的长度，将底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时DE+EF取得最小值，利用余弦定理求解即可

由正三棱柱ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴⊥AB，⊥AC．
在Rt△ADF中，DF=．
把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，

只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在△ADF中，∠DAF=60°+90°=150°，由余弦定理可得：
DF=．
∴△DEF周长的最小值为
故答案为：