Question

在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．

Answer

（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）证明OD'⊥AO． 推出OD'⊥平面ABCO． 然后证明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；证明四边形OCMP为平行四边形，然后证明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）说明OD'是四棱锥D'﹣ABCO的高．通过体积公式求解即可．

（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，

所以．

因为平面平面

平面平面，

平面，

所以平面．

因为平面，

所以．

（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；

因为在中，，分别是线段，的中点，

所以，．

因为是线段的中点，菱形中，，，

所以．

所以，．

所以，．

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．

所以 是四棱锥的高，又S= ,

因为，

所以．