Question

已知函数.

（1）当时，若，求的取值范围；

（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式；

（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据对数函数单调性以及定义域化简解不等式，再解分式不等式得结果；

（2）先根据奇函数性质求得，再根据奇函数以及条件将要求自变量转化到已知区间，最后根据已知区间解析式求结果;

（3）先根据函数性质解得一个周期下的不等式解集，再根据范围确定包含关系，解得结果.

【解析】
（1）原不等式可化为，

∴，且，且，

得.

（2）∵是奇函数，∴，得，

当时，，.

当时， ， .

∴

（3）∵

,即周期为4，

因为为奇函数，且当时，，

所以当时，

因为，

所以当时，，

当时，，所以

在一个周期内，

记，

当时，，

因为关于的不等式在上恒成立，

∴，解得.

当时，，

因为关于的不等式在上恒成立，

所以，解得.

综上所述，实数的取值范围是.