Question

记.

（1）求的值；

（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.

Answer

（1）（2）.

【解析】

试题（1）先化简，再代入求值：（2）猜想所有的最大公约数为.即证能被整除，因为当时，，根据组合数性质化简得

，以下就可得证

试题解析：【解析】
（1）因为，

所以.

（2）由（1）中结论可猜想所有的最大公约数为.

下面用数学归纳法证明所有的都能被整除即可.

（ⅰ）当时，能被整除，结论成立；

（ⅱ）假设时，结论成立，即能被整除，

则当时，

，此式也能被整除，即时结论也成立.

综上所述，所有的最大公约数为.