Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n＝log_a(其中a＞0且a≠1)．记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1的大小，并证明你的结论.

Answer

（1）bn＝3n－2.（2）当a＞1时，Sn＞logabn＋1，当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1

【解析】

(1)设数列{bn}的公差为d，

由题意得∴bn＝3n－2.

(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga

＝loga

而logabn＋1＝loga，于是，比较Sn与logabn＋1的大小比较

(1＋1)与的大小.

取n＝1，有1＋1＝>＝，

取n＝2，有(1＋1)>>＝.

推测(1＋1)…＞，(*)

①当n＝1时，已验证(*)式成立；

②假设n＝k(k≥1)时(*)式成立，即(1＋1)＞，

则当n＝k＋1时，

(1＋1)>.

∵－＝>0，∴，

从而(1＋1)，即当n＝k＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n都成立．于是，当a＞1时，Sn＞logabn＋1，当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1