Question

已知函数

（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；

（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：

（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

【解析】

试题（Ⅰ）利用导数求解单调性，把恒成立转化为最值；（Ⅱ）可用数学归纳法来证明；（Ⅲ）通过放缩法来解决与的大小比较问题.

试题解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b

∴

∴

要使函数在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内恒大于等于0或恒小于等于0，

当a=0时，在（0，+∞）内恒成立；

当a>0时，恒成立，则∴

当a<0时，恒成立

∴a的取值范围是:

(Ⅱ)∴a=1 则：

于是

用数学归纳法证明如下：

当n=1时，，不等式成立；

假设当n=k时，不等式成立，即也成立，

当n=k+1时，

所以当n=k+1时不等式成立，

综上得对所有时，都有

（Ⅲ）由（2）得

于是

所以，

累乘得：则

所以