Question

已知数列，，且对任意n恒成立．

（1）求证：(n)；

（2）求证：(n)．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）利用数学归纳法直接证明，假设当时，成立，则当时，，将代入即可证得：当时，成立，问题得证。

（2）利用数学归纳法证明，先证明时，成立，假设当时， 成立，证明：当时，成立，

因为，可将证明问题转化成：证明，转化成证明，再转化成证明（）成立。构造函数，利用导数即可判函数在上递增，结合，即可证得：当时，成立，即可证得：当，成立，问题得证。

（1）①当时，

满足成立.

②假设当时，结论成立.即：成立

下证：当时，成立。

因为

即：当时，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（ⅰ）当时，成立，

当时，成立，

（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立

下证：当时，成立.

因为

要证，

只需证

只需证：，

只需证：

即证：（）

记

当时，

所以在上递增，

又

所以，当时，恒成立。

即：当时，成立。

即：当时，恒成立.

所以当，恒成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.