Question

已知数列 满足 .

（1）证明：数列 是等比数列；

（2）令 ，用数学归纳法证明：

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明时，不等式成立；再假设当时，不等式成立，然后证明时不等式成立即可.

证明：（1）令，

则，

，

，

即，

数列是等比数列，

故是等比数列；

（2）由（1）得，，，

下面用数学归纳法证明当，时，．

①当时，不等式的左边，右边，而，

时，不等式成立；

②假设当时，不等式成立，即；

当时，

当时，不等式也成立．

由①②可得，

当，时，．