Question

在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．

（1）求的值；

（2）用数学归纳法证明此结论．

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）将代入得到方程组，求解得到结果；（2）根据数学归纳法的步骤，当时，利用整理出结论.

(1)由得

解得

(2)用数学归纳法证明

①当时，显然成立

②假设当时成立，即

那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面

因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任何条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分；每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了个，所以即时，结论成立

根据①②可知，