Question

已知数列满足，，．

（1）用数学归纳法证明：；

（2）令，证明：．

Answer

(1)详见解析(2)详见解析

【解析】

（1）利用数学归纳法证明即可；

（2）由可得即，两边取对数可知构成以2为公比的等比数列，可得，借助二项式定理进行放缩即可得到结果.

（1）证明：当时，，结论显然成立；

假设当时，，

则当时，，

综上，.

（2）由（1）知，，所以.

因为，

所以，

即，

于是，

所以，

故构成以2为公比的等比数列，其首项为.

于是，从而，

所以，即，于是，

因为当时，，

当时，，

所以对，有，所以，所以，

从而.