Question

在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.

（1）直接写出，，，的值；

（2）当时，试用，表示，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：为奇数.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

试题（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得，，，的值；（2）根据定义理解，，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先根据递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论.

试题解析：（1），，，，

（2），理由如下：

对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：

若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；

若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；

根据的不同的取值，由加法原理得到；

（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；

当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，

又也是偶数，

故对任意正奇数，有均为偶数.

下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；

假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；

根据前面所述，对任意，都有为奇数.