Question

如图，有一块三棱锥形木块，各面均是锐角三角形，其中面内有一点.

（1）若要在面内过点画一条线段，其中点在线段上，点在线段上，且满足与垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明；

（2）经测量，，，，，若恰为三角形的重心，为（1）中所求线段，求三棱锥的体积.

Answer

（1）作图详见解析；（2）.

【解析】

（1）先在上任取一点，分别在平面和平面内作的垂线分交、于点、，可得出平面，进而得出，然后分两种情况讨论，和，即可作出；

（2）先证明出，根据重心的性质得出三棱锥的体积为三棱锥体积的，利用余弦定理计算出、，进而计算出的面积，由此可计算出三棱锥的体积，进而得出三棱锥的体积.

（1）如图，在上任取一点；

过点在平面内作的垂线，交于；

过点在平面内作的垂线，交于.

连接，若过点，则就是所求线段；

若不过点，则过点作的平行线，与、相交即得线段.

（2）取中点，连、，

因为为三角形的重心，故在上，且.

由题意知，，，，故平面，

平面，，

又，与共面，于是，，

故三棱锥的体积为三棱锥体积的.

，，则为等边三角形，，

，

在中，由余弦定理得，

整理得，解得或.

若，此时为等腰三角形，，，合乎题意；

若，则，为钝角，不合乎题意.

同理可得，，

在中，，，，由余弦定理得，

，，

故.