Question

已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.

（1）若直线过点，求椭圆方程；

（2）求证：为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，由直线与圆相切可得出的值，由直线过点可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设点，可知，利用两点间的距离公式、勾股定理可分别求出、，进而可证明出为定值.

（1）设椭圆的焦距为，

由于直线与圆相切，则，

直线过点，，则，

因此，椭圆的方程为；

（2）设，易知点在轴右侧，可得，

则，，

，，

，

，，

因此，（定值）.