Question

设数列的前项和，已知，.

（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；

（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.

Answer

（1）证明见解析；；（2）；（3）；

【解析】

(1)当时，由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列，进一步可得数列的通项公式；

(2)结合(1)中的通项公式裂项求和，然后结合题意可确定实数的取值范围；

(3)首先确定数列为等差数列，然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和，得到关于k的不等式，最后求解关于k的不等式即可确定实数的所有可能取值.

(1)当时，，，

两式作差得，

故，

所以数列是公差为6的等差数列，

又，

所以；

(2)由于，故.

，

显然单调递增，且，

故， 所以.

(3)，则是公差为的等差数列，

故当时，;

当时，，

设数列的前n项和为，于是：

，

注意到，则，题中的不等式即，

所以，

所以，的所有可取值为.