Question

记是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：

①对任意的，都有；

②存在常数，使得对任意的、，都有.

（1）设函数，，判断函数是否属于？并说明理由；

（2）已知函数，求证：方程的解至多一个；

（3）设函数，，且，试求实数的取值范围.

Answer

（1）函数属于，理由详见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）求出函数的值域，利用题中定义找出符合条件的，使得，结合定义验证即可；

（2）利用反证法，假设方程有两根，分别设为、，且有，利用题中定义推出矛盾，从而证明出结论成立；

（3）由求得，再由可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.

（1）二次函数在区间上单调递增，所以，，

即，所以，函数的值域为，

对任意的、，，

都有，

因此，函数属于；

（2）假设方程的有两个根，分别为、，且有，

则，

由于，故，矛盾.

故假设不成立，即方程的解至多一个；

（3）因为，则，即，解得，

且对任意，都有，

，解得.

综上，实数的取值范围是.