Question

设整数数列{a_n}共有2n（）项，满足，，且（）．

（1）当时，写出满足条件的数列的个数；

（2）当时，求满足条件的数列的个数．

Answer

（1）8；（2）.

【解析】

（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果.

（1）时，，且

则确定时，有唯一确定解

又，可知有种取法

若，则，则有种取法

此时，也有种取法

又，当确定时，随之确定

故所有满足条件的数列共有：个

满足条件的所有的数列的个数为

（2）设，则由得

①

由得，则：

即 ②

用表示中值为的项数

由②可知也是中值为的项数，其中

所以的取法数为

确定后，任意指定的值，有种

由①式可知，应取，使得为偶数

这样的的取法是唯一的，且确定了的值

从而数列唯一地对应着一个满足条件的

所以满足条件的数列共有个

下面化简

设

两展开式右边乘积中的常数项恰好为

因为，又中的系数为

所以

所以满足条件的数列共有个