Question

如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________

Answer

【解析】

求出的范围，设出点、的坐标，根据、两点的纵坐标相等得到，再求出高；根据圆柱体的体积公式得到关于的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．

由，当且仅当时取等号，得；

又矩形绕轴旋转得到的旋转体是圆柱，

设点的坐标为，，点的坐标为，，

则圆柱的底面圆半径为，高为，且，，

所以，即，

所以，

所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号，

故此矩形绕轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．

故答案为：．