Question

给定椭圆．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．

Answer

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

【解析】

试题（1）由“椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为”知：从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程；

（2）分两种情况讨论：①当中有一条直线斜率不存在；②直线斜率都存在．

对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直；

对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为

与椭圆方程联立组成方程组消去得到关于的方程：

由化简整理得：

而直线的斜率正是方程的两个根，从而

（1）

椭圆方程为

准圆方程为

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个共公点，则其方程为

当方程为时，此时与准圆交于点

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共眯的直线是（或）

即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线也垂直．

②当都有斜率时，设点其中

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为

则由消去，得

由化简整理得：

因为，所以有

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点

所以满足上述方程

所以，即垂直,

综合①②知,垂直．