Question

如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，.则

（1）双曲线的离心率______；

（2）菱形的面积与矩形的面积的比值______.

Answer

. .

【解析】

对于（1）由题意可得顶点和虚轴端点坐标及交点坐标，从而求得菱形的边长，得到到直线的距离为，接下来根据双曲线中的关系和离心率公式，即可得到所求值；对于（2），分别计算出菱形面积与矩形的面积，然后根据的关系求出它们的比值即可.

（1）直线的方程为，

所以到直线的距离为，

因为以为直径的圆内切于菱形，

所以，

所以，

所以，即，

因为，解得，，

故答案为：.

（2）菱形的面积，

设矩形，，所以，

因为，所以，

所以矩形的面积，

所以，

由（1）知，所以，

故答案为：.