Question

已知等比数列的前n项和为，且当时，是与2m的等差中项为实数.

（1）求m的值及数列的通项公式；

（2）令，是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.

Answer

（1），；（2）存在，4.

【解析】

（1）根据等差中项的性质列方程，求得的表达式.利用，结合是等比数列，求得的值及数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，将不等式左边看成，利用差比较法判断出的单调性，由此求得的最小值，进而求得的最大值.

1 是与2m的等差中项，    ，即 ，

当时， ，

当时， ， 是等比数列， ，则 ，

 ，且数列的通项公式为.

2存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.

，

 数列单调递增，，

由不等式恒成立得：， .

故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.