Question

已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，设圆：，不与轴垂直的直线与交于、两点，原点到直线的距离为，线段、分别与椭圆交于、，，垂足为.设，，的面积为，的面积为.

①试确定与的关系式；、

②求的最大值.

Answer

（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）利用三角形的内切圆半径公式与外接圆的半径公式，求得两个圆的半径，根据条件，列出等量关系式，求得结果；

（2）①根据点到直线的距离，以及圆的半径，可知，即，利用点在圆上，利用向量的关系，得到坐标的关系，点的坐标满足圆的方程，整理得到；②根据①中的条件，可以整理得到，是定值，再设直线的方程为，利用弦长公式求得，再利用垂直关系得到之后应用面积公式得到，之后利用面积公式得到，可以发现越小，其值越大，再将等于零时的情况代入求得结果.

（1）根据题意，设的内切圆半径为，

则有，因为，

整理得，

设的外接圆的半径为，

则有，即，所以，

根据题意有，所以，即，

整理得，因为，所以，因为，所以，

所以椭圆C的方程为：.

（2）①根据题意，原点O到直线l的距离为，且，

所以，，

设，

由题意可知：，

因为，所以，

所以，同理，

因为，所以，

同理，

因为，所以，所以，

所以，

整理得，

所以的关系式为.

②因为，

，

所以，

又因为，

所以，即，

所以，，

设直线的方程为，与椭圆方程联立，

可得，整理得，

由①， ，

由①知，所以，即，

所以，整理得，

即，整理得：，

，

设直线，由，解得，

根据题意可知：

因为是增函数，所以

当时，直线的方程为：，

此时，此时达到最大值，

所以的最大值是.