Question

已知f(x)＝(1＋2x)^m＋(1＋4x)ⁿ (m，n∈N^*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x²项的系数最小值．

Answer

272

【解析】

利用二项式求出中的系数，得出的关系，再求出的系数，结合二次函数的性质可求得最小值．

解:(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为·2x＋·4x＝(2＋4)x，

∴2＋4＝36，即m＋2n＝18，

(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为

t＝22＋42＝2m2－2m＋8n2－8n，

∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，

∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

＝16，

∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，

∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.