Question

（1）求证：，其中；

（2）求证：.

Answer

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）分别当为正偶数、正奇数时，结合二项式展开式，进行证明；

（2）要证明的式子的一般形式为：=，只要这个式子成立，那么所证明的式子也就成立.利用组合数的性质，可以证明出：右边=，再通过组合数的公式可以得出：，右边的式子展开，结合（1）的结论可以证明出，构造数列：设，，利用累和法求得，所要证明的式子成立，当，命题得证.

证明（1）当为正偶数时，

左边，

，

，

，所以左边=1=右边；

当为正奇数时，

左边，

，

，

，所以左边=1=右边.

（2）要证明的等式的一般形式为：

=，现证明此等式成立.

右边=

，

，

由（1）可知，所以

，

设，，

当时，

时，也成立，

命题得证,当，显然也成立.