Question

数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，．

（Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；

（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题（Ⅰ）因为等差数列的通项公式为，所以，由公式，可得：，又，所以问题得证；（Ⅱ）由赋值法，令，则，令，则，化简，利用组合数性质，代入不等式，分离参数，注意对的奇偶性讨论．

试题解析：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，

则

因为，所以，

所以=．

（Ⅱ）令，则，

令，则，所以，

根据已知条件可知，

，所以，

将、代入不等式得，，

当为偶数时，，所以；

当为奇数时，，所以；

综上所述，所以实数的取值范围是．